目次

• まえがき

第1章　方程式の歴史をめぐる冒険

• 2次方程式を最初に解いたのは古代バビロニア人
• 2次方程式に解が2 つあることはインド人が発見した
• 3次方程式の舞台はイタリアになった！
• 秘密の必殺技はなぜ漏れたのか？
• 4次方程式にも悲劇の歴史が
• 方程式と対称性の関係に気づいた人々
• 悲運の数学者アーベル
• 天才ガロアの登場
• ガロアの前代未聞の発想

第2章　2次方程式でガロア理論をざっくり理解

• 飽和した数の世界
• ルート数の作る体
• 分母の有理化が役に立った！
• 有理数の拡大体はいろいろある
• 体K をかき混ぜる
• 体Q ( 2 ) の自己同型は2 種類ある
• 体Q ( 2 ) の自己同型は他にもあるか？
• 2次方程式でガロアのアイデアをかいつまもう
• 2次方程式の解から代数体を作ろう
• 2次体の自己同型を突き止めよう
• 自己同型を突き詰めていくと解の公式が得られる！

第3章　「動き」の代数学～群とは何か

• 「群」という発想
• 入れ替え操作から群を作る
• あみだクジが生み出す群
• 群を正式に定義しよう
• あみだクジの秘密
• 有限群とお近づきになろう
• まずは，非常にシンプルでばかばかしい例
• 図形の対称性は群の源だ
• 群は，私たちの実生活でも役に立っている！

第4章　群は対称性の表現だ～部分群とハッセ図

• 群のおなかの中の小さな群
• 正方形の対称操作の群の部分群をすべてみつけよう
• 巡回群という特別な群
• ハッセ図とは，部分群の家系図
• 部分群を使って群全体を分類する
• 区分けした領域が再び群の構造を持つことがある

第5章　空想の数の理想郷～複素数

• 負数とその平方根
• 3次方程式の解法がタブーを突破した
• 虚数単位i は，どっちがどっち？
• 虚数単位から体を作ろう
• 空想の理想郷〜複素数
• 複素数を目に見えるようにする
• 1のべき根の作る美しい図形
• べき根を付け加えた体はどんな体か

第6章　3次方程式が解けるからくり

• 3次方程式の解の公式
• 3次方程式の解の公式を学校で教わらない理由
• フォンタナは3次方程式の解の公式をどうやって見つけたか
• 3次方程式はなぜ解けるのか
• 3次方程式の解の作る代数体の自己同型
• 体Kの自己同型の群とその部分群たち
• ガロアの発見した部分群と固定体との対応 　
• 固定体Mの自己同型はどんな群？
• ハッセ図から解の公式へ

第7章　5次以上の方程式が解けないからくり

• ガロアの成し遂げたこと
• ガロアの定理の証明：超ざっくり版
• ガロアの定理の証明：簡易版
• 「それなり版証明」を開始しよう
• 解けない方程式の「からくり」はこうだ
• 解ける方程式の「からくり」はこうだ

第8章　ガロアの群論のその後の発展

• ガロアの発想は数学の最先端へ
• こんがらがった紐の理論〜基本群
• 曲面の上でのループの群を考える
• ポアンカレ予想を解決したペレルマン
• 繰り返し模様の幾何学
• 箱と包み紙の幾何学
• トーラス面の被覆空間
• 被覆空間の基本群
• 被覆空間の基本群は元の空間の基本群の部分群になる！
• 被覆空間にもガロアが降臨する
• 微分方程式のガロア理論