目次
第1章 方程式の歴史をめぐる冒険
- 2次方程式を最初に解いたのは古代バビロニア人
- 2次方程式に解が2つあることはインド人が発見した
- 3次方程式の舞台はイタリアになった！
- 秘密の必殺技はなぜ漏れたのか？
- 4次方程式にも悲劇の歴史が
- 方程式と対称性の関係に気づいた人々
- 悲運の数学者アーベル
- 天才ガロアの登場
- ガロアの前代未聞の発想
第2章 2次方程式でガロア理論をざっくり理解
- 飽和した数の世界
- ルート数の作る体
- 分母の有理化が役に立った！
- 有理数の拡大体はいろいろある
- ベクトル空間という見方
- ２次拡大の２次拡大は４次拡大
- 体Kをかき混ぜる
- 体Q(ルート2)の自己同型は2種類ある
- 体をベクトル空間と見ると同型写像はどうなる?
- 体Q(ルート2)の自己同型は他にもあるか？
- 2次方程式でガロアのアイデアをかいつまもう
- 2次方程式の解から代数体を作ろう
- 2次体の自己同型を突き止めよう
- 自己同型を突き詰めていくと解の公式が得られる！
第3章 「動き」の代数学〜群とは何か
- 「群」という発想
- 入れ替え操作から群を作る
- あみだクジが生み出す群
- 群を正式に定義しよう
- あみだクジの秘密
- 有限群とお近づきになろう
- まずは，非常にシンプルでばかばかしい例
- 図形の対称性は群の源だ
- 群は，私たちの実生活でも役に立っている！
- Column ガロアの別定理〈前編〉
第4章 群は対称性の表現だ〜部分群とハッセ図
- 群のおなかの中の小さな群
- 正方形の対称操作の群の部分群をすべてみつけよう
- 巡回群という特別な群
- ハッセ図とは，部分群の家系図
- 部分群を使って群全体を分類する
- 区分けした領域が再び群の構造を持つことがある
第5章 空想の数の理想郷〜複素数
- 負数とその平方根
- 3次方程式の解法がタブーを突破した
- 虚数単位iは，どっちがどっち？
- 虚数単位から体を作ろう
- 空想の理想郷〜複素数
- 複素数を目に見えるようにする
- 1のべき根の作る美しい図形
- べき根を付け加えた体はどんな体か
第6章 3次方程式が解けるからくり
- 3次方程式の解の公式
- 3次方程式の解の公式を学校で教わらない理由
- フォンタナは3次方程式の解の公式をどうやって見つけたか
- 3次方程式はなぜ解けるのか
- 3次方程式の解の作る代数体の自己同型
- 体Kの自己同型の群とその部分群たち
- ガロアの発見した部分群と固定体との対応
- 固定体Mの自己同型はどんな群？
- ハッセ図から解の公式へ
- Column ガロアの別定理〈後編〉
第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
- ガロアの成し遂げたこと
- ガロアの定理の証明：超ざっくり版
- ガロアの定理の証明：簡易版
- 「それなり版証明」を開始しよう
- ４次方程式で具体例を見てみよう
- 自己同型写像を全部求める
- 自己同型群の解への作用
- 中間体を見つけよう
- ガロアの基本定理1の証明
- 解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
- x^5−10x+5=0が解けない理由
- ６次以上の方程式にも解けないものがある
- 解ける方程式の「からくり」はこうだ
第8章 ガロアの群論のその後の発展
- ガロアの発想は数学の最先端へ
- こんがらがった紐の理論〜基本群
- 曲面の上でのループの群を考える
- ポアンカレ予想を解決したペレルマン
- 繰り返し模様の幾何学
- 箱と包み紙の幾何学
- トーラス面の被覆空間
- 被覆空間の基本群
- 被覆空間の基本群は元の空間の基本群の部分群になる！
- 被覆空間にもガロアが降臨する
- 微分方程式のガロア理論
補足章
- あとがき
- 参考文献，かつ，お勧めの本
- 索引