- 日時:令和元年7月22日13時〜
- 場所:東京大学工学部14号館にて
- 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』
(2019年8月9日発売) に先立って
- 西郷甲矢人
(さいごうはやと) - 『圏論の道案内』
著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学 (非可換確率論)。 - 成瀬誠
(なるせまこと) - 西郷先生と近年一緒に研究をされていて、
情報物理の観点から、 圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。
第4回 世界の見方を拡げる
西郷 ところで、
成瀬 実用的なメリットというよりも世界の見方が広がりますよね。
- *30 三角圏
- 加法圏における複体にホモトピー同値を導入すると三角圏が得られる。三角圏の公理のひとつとして知られる
「八面体公理」 は、 6個のオブジェクトが八面体状に配置され、 その上に4個の三角系列 (三角形をループする系列) が存在することを述べている。
- *31 ホモロジー長系列
- 複体の完全列が存在するとき、
ホモロジーの完全系列が存在すること。
西郷 なるほど。
成瀬 それから私はまだ随伴*32のところまで完全にはマスターできていないのですが、
- *32 随伴
- 二つの圏を行き来する二つの関手がある種の
「密接な関係」 (二つの自然変換によって記述される) を持っているとき、 随伴関係にあるという (より正確な説明は本書の218ページ参照)。このとき、 ふたつの圏は、 圏同値よりも緩い意味で 「本質的に同じ」 と思える。とくに、 一方の圏が他方の圏に 「包まれて」 いながら、 随伴の意味で 「本質的に同じに」 なっている場合、 「包まれながら包んでいる」 とでもいうべき面白い状況が起こる。それが対談本文でも述べられている 「忘却」 関手と 「自由構成」 関手による随伴関係である。あるものをより一般的なものとして 「細かいことを忘れる」 という操作が 「忘却」 にあたり、 より一般的なものからそれと 「同じ情報をもつ」 特殊なものを作り出すのが 「自由構成」 である。
- *33 フーリエ変換
- 関数を、
三角関数 (複素指数関数) の重ね合わせと見なすことで得られる 「見方の転換」。自然変換の重要な一例。
西郷 そうですね。
成瀬 自分の場合、
西郷 随伴でいうと、
- *34 群
- 圏論的に定義すれば、
ただ一つの対象をもち、 すべての射が可逆であるような圏をいう。つまり 「可逆なモノイド」。あるひとつの 「もの」 に対する可逆な操作の全体というものは群と思える。
それに対して一般のものを特殊なものにもってこれるというのが自由構成。たとえば集合が与えられたらそこから自由群*35という群を必ずシステマティックに作れます、
- *35 自由群
- 集合から自由構成される群
(自由構成については随伴の項を参照)。大まかに言えば、 集合の要素どうしの間に、 「ただ並べる」 という演算を定義したものと考えてもよい。しかし構成の仕方そのものよりも、 単なる集合から群をシステマティックに作れることが重要。
成瀬 忘却の例で、
スマホの機能は一切忘れて。忘却関手*36になっているわけです。
- *36 忘却関手
- 随伴の項を参照。
西郷 なるほど。
成瀬 そう、
西郷 まさにそれは当り前ではないわけです。
成瀬 当たり前ではないです。
西郷 「随伴」
成瀬 なるほど。
西郷 忘れること自体はあたりまえにできるとしてそれが随伴を持つのかというところが非自明。もつ場合、
成瀬 なるほどね。
西郷 いってみれば、最適化問題*37が解けるという、
- *37 最適化問題
- ある規範に基づいて定義された量を最大または最小にする問題。
成瀬 なるほど。ソフトロボティクスというのはそこに新しい可能性を与えてるように思いますね。あとJSTのさきがけで
西郷 粉末コンピューティング?
成瀬 ええ、
西郷 なるほど。ハードな操作という特殊なものがあって、